实变函数笔记20250221

偏序

X≠∅,XX\not=\emptyset, X 上一个关系 R⊆X×X,R\subseteq X\times X,当RR满足自反、传递、反对称，我们称RR为一个偏序

默认下文中的RR均为XX上的偏序

全序子集

E⊆X,E\subseteq X,如果∀x0,x1∈E,x0Rx1⊕x1Rx0\forall x_0,x_1\in E,x_0Rx_1\oplus x_1Rx_0，我们称EE是XX的一个全序子集

上界

∃x∈X,∀x′∈E⊆X,x′Rx\exists x\in X, \forall x'\in E\subseteq X, x'Rx，我们称xx是EE的一个上界

最大元

如果x∈X,xRx′⇒x=x′x\in X, xRx'\Rightarrow x=x'，我们称xx为一个最大元 R$为XX上的偏序，

Zorn 引理

设XX为一偏序集，如果XX的每一个全序子集均有上界，则XX有一个最大元

选择公理

设F\mathcal F为一族非空集合，则存在一个选择函数，即可从每一集合中选择一个元素

上极限集与下极限集

{An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^{\infty}为一族集合
其上极限集lim sup⁡An:=⋂k=1∞⋃n=k∞An⇔∃\limsup A_n:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exist无穷多n s.t. x∈Ann\ s.t.\ x\in A_n
其下极限集lim inf⁡An:=⋃k=1∞⋂n=k∞An⇔∃\liminf A_n:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exist有限个n s.t. x∉Ann\ s.t.\ x\not\in A_n

σ−\sigma-代数

A⊆2X\mathcal A\subseteq 2^X，若A\mathcal A满足

  1. ∅∈A\emptyset \in A
  2. A∈A⇒AC∈AA\in \mathcal A\Rightarrow A^C\in \mathcal A
  3. {An}n=1∞⊆A⇒⋃n=1∞An∈A\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathcal A\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal A

则称A\mathcal A为一个σ−\sigma-代数

Borel 集族

Borel集族B⊆2R\mathcal B\subseteq 2^\R为包含所有R\R中开集的最小σ−\sigma-代数

FσF_\sigma与GδG_\delta

FσF_\sigma为可数个闭集的并，GδG_\delta为可数个开集的交

引理

U⊆RU\subseteq \R且为开集，则存在存在至多可数个两两不交的开区间{Ik}\{I_k\}使得U=⋃kIkU=\bigcup_k I_k

Cantor 集

C0=[0,1]C_0=[0,1]
n≥1n\geq 1递推定义CnC_n为：将Cn−1C_{n-1}每个区间三等分后，留下的左右两个闭子区间。可知CnC_n为2n2^n个长度为3−n3^{-n}的闭区间。

Cantor集C:=⋂n=0∞Cn\mathcal C:=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n