实变函数笔记20250221
偏序
X=∅,X 上一个关系 R⊆X×X,当R满足自反、传递、反对称,我们称R为一个偏序
默认下文中的R均为X上的偏序
全序子集
E⊆X,如果∀x0,x1∈E,x0Rx1⊕x1Rx0,我们称E是X的一个全序子集
上界
∃x∈X,∀x′∈E⊆X,x′Rx,我们称x是E的一个上界
最大元
如果x∈X,xRx′⇒x=x′,我们称x为一个最大元 R$为X上的偏序,
Zorn 引理
设X为一偏序集,如果X的每一个全序子集均有上界,则X有一个最大元
选择公理
设F为一族非空集合,则存在一个选择函数,即可从每一集合中选择一个元素
上极限集与下极限集
{An}n=1∞为一族集合
其上极限集limsupAn:=⋂k=1∞⋃n=k∞An⇔∃无穷多n s.t. x∈An
其下极限集liminfAn:=⋃k=1∞⋂n=k∞An⇔∃有限个n s.t. x∈An
σ−代数
A⊆2X,若A满足
- ∅∈A
- A∈A⇒AC∈A
- {An}n=1∞⊆A⇒⋃n=1∞An∈A
则称A为一个σ−代数
Borel 集族
Borel集族B⊆2R为包含所有R中开集的最小σ−代数
Fσ与Gδ
Fσ为可数个闭集的并,Gδ为可数个开集的交
引理
U⊆R且为开集,则存在存在至多可数个两两不交的开区间{Ik}使得U=⋃kIk
Cantor 集
C0=[0,1]
n≥1递推定义Cn为:将Cn−1每个区间三等分后,留下的左右两个闭子区间。可知Cn为2n个长度为3−n的闭区间。
Cantor集C:=⋂n=0∞Cn