实变函数笔记20250221

偏序

X,XX\not=\emptyset, X 上一个关系 RX×X,R\subseteq X\times X,RR满足自反、传递、反对称,我们称RR为一个偏序

默认下文中的RR均为XX上的偏序

全序子集

EX,E\subseteq X,如果x0,x1E,x0Rx1x1Rx0\forall x_0,x_1\in E,x_0Rx_1\oplus x_1Rx_0,我们称EEXX的一个全序子集

上界

xX,xEX,xRx\exists x\in X, \forall x'\in E\subseteq X, x'Rx,我们称xxEE的一个上界

最大元

如果xX,xRxx=xx\in X, xRx'\Rightarrow x=x',我们称xx为一个最大元 R$为XX上的偏序,

Zorn 引理

XX为一偏序集,如果XX的每一个全序子集均有上界,则XX有一个最大元

选择公理

F\mathcal F为一族非空集合,则存在一个选择函数,即可从每一集合中选择一个元素

上极限集与下极限集

{An}n=1\{A_n\}_{n=1}^{\infty}为一族集合
其上极限集lim supAn:=k=1n=kAn\limsup A_n:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exist无穷多n s.t. xAnn\ s.t.\ x\in A_n
其下极限集lim infAn:=k=1n=kAn\liminf A_n:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exist有限个n s.t. x∉Ann\ s.t.\ x\not\in A_n

σ\sigma-代数

A2X\mathcal A\subseteq 2^X,若A\mathcal A满足

  1. A\emptyset \in A
  2. AAACAA\in \mathcal A\Rightarrow A^C\in \mathcal A
  3. {An}n=1An=1AnA\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathcal A\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal A

则称A\mathcal A为一个σ\sigma-代数

Borel 集族

Borel集族B2R\mathcal B\subseteq 2^\R为包含所有R\R中开集的最小σ\sigma-代数

FσF_\sigmaGδG_\delta

FσF_\sigma为可数个闭集的并,GδG_\delta为可数个开集的交

引理

URU\subseteq \R且为开集,则存在存在至多可数个两两不交的开区间{Ik}\{I_k\}使得U=kIkU=\bigcup_k I_k

Cantor 集

C0=[0,1]C_0=[0,1]
n1n\geq 1递推定义CnC_n为:将Cn1C_{n-1}每个区间三等分后,留下的左右两个闭子区间。可知CnC_n2n2^n个长度为3n3^{-n}的闭区间。

Cantor集C:=n=0Cn\mathcal C:=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n